Laplace vs Transformadas de Fourier
Tanto a transformada de Laplace quanto a transformada de Fourier são transformadas integrais, que são mais comumente empregadas como métodos matemáticos para resolver sistemas físicos modelados matematicamente. O processo é simples. Um modelo matemático complexo é convertido em um modelo mais simples e solucionável usando uma transformação integral. Uma vez resolvido o modelo mais simples, é aplicada a transformada integral inversa, que forneceria a solução para o modelo original.
Por exemplo, uma vez que a maioria dos sistemas físicos resulta em equações diferenciais, eles podem ser convertidos em equações algébricas ou, em grau menor, em equações diferenciais facilmente solucionáveis usando uma transformada integral. Então resolver o problema ficará mais fácil.
O que é a transformada de Laplace?
Dada uma função f (t) de uma variável real t, sua transformada de Laplace é definida pela integral [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (sempre que existir), que é uma função de uma variável complexa s. Geralmente é denotado por L { f (t)}. A transformada inversa de Laplace de uma função F (s) é considerada a função f (t) de tal forma que L { f (t)}=F (s), e na notação matemática usual escrevemos, L-1{ F (s)}=f (t). A transformação inversa pode se tornar única se funções nulas não forem permitidas. Pode-se identificar esses dois como operadores lineares definidos no espaço de funções, e também é fácil ver que, L -1{ L { f (t)}}=f (t), se funções nulas não forem permitidas.
A tabela a seguir lista as transformadas de Laplace de algumas das funções mais comuns.
O que é a transformada de Fourier?
Dada uma função f (t) de uma variável real t, sua transformada de Laplace é definida pela integral [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (sempre que existir), e geralmente é denotado por F { f (t)}. A transformada inversa F -1{ F (α)} é dada pela integral [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. A transformada de Fourier também é linear e pode ser pensada como um operador definido no espaço da função.
Usando a transformada de Fourier, a função original pode ser escrita como segue, desde que a função tenha apenas um número finito de descontinuidades e seja absolutamente integrável.
Qual é a diferença entre a Transformada de Laplace e a Transformada de Fourier?
- Transformada de Fourier de uma função f (t) é definida como [látex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], enquanto a transformada de laplace é definida como [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Transformada de Fourier é definida apenas para funções definidas para todos os números reais, enquanto a transformada de Laplace não requer que a função seja definida no conjunto dos números reais negativos.
- Transformada de Fourier é um caso especial da transformada de Laplace. Pode-se ver que ambos coincidem para números reais não negativos. (ou seja, tome s no Laplace como iα + β onde α e β são reais tais que e β=1/ √(2ᴫ))
- Toda função que tem transformada de Fourier terá transformada de Laplace, mas não vice-versa.
