Diferença entre equação linear e equação quadrática

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 13:47

Equação Linear vs Equação Quadrática

Em matemática, equações algébricas são equações que são formadas usando polinômios. Quando escritas explicitamente as equações serão da forma P(x)=0, onde x é um vetor de n variáveis desconhecidas e P é um polinômio. Por exemplo, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 é uma equação algébrica de duas variáveis escritas explicitamente. Além disso, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ é uma equação algébrica, mas de forma implícita. Terá a forma Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, uma vez escrito explicitamente.}

Uma característica importante de uma equação algébrica é o seu grau. É definida como a maior potência dos termos que ocorrem na equação. Se um termo consiste em duas ou mais variáveis, a soma dos expoentes de cada variável será considerada a potência do termo. Observe que de acordo com esta definição P(x, y)=0 é de grau 4 enquanto Q(x, y, z)=0 é de grau 5.

Equações lineares e equações quadráticas são dois tipos diferentes de equações algébricas. O grau da equação é o fator que as diferencia do resto das equações algébricas.

O que é uma equação linear?

Uma equação linear é uma equação algébrica de grau 1. Por exemplo, 4x + 5=0 é uma equação linear de uma variável. x + y + 5z=0 e 4x=3w + 5y + 7z são equações lineares de 3 e 4 variáveis, respectivamente. Em geral, uma equação linear de n variáveis terá a forma m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Aqui, x_i's são as variáveis desconhecidas, m_i's e b são números reais onde cada um de m_i é diferente de zero.

Tal equação representa um hiperplano no espaço euclidiano n-dimensional. Em particular, uma equação linear de duas variáveis representa uma linha reta no plano cartesiano e uma equação linear de três variáveis representa um plano no espaço euclidiano 3.

O que é uma equação quadrática?

Uma equação quadrática é uma equação algébrica do segundo grau. x² + 3x + 2=0 é uma equação quadrática de variável única. x² + y² + 3x=4 e 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 são exemplos de equações quadráticas de 2 e 3 variáveis respectivamente.}

No caso de variável única, a forma geral de uma equação quadrática é ax² + bx + c=0. Onde a, b, c são números reais dos quais 'a' é diferente de zero. O discriminante ∆=(b^{2 – 4ac) determina a natureza das raízes da equação quadrática. As raízes da equação serão reais distintas, reais semelhantes e complexas conforme ∆ for positivo, nulo e negativo. As raízes da equação podem ser facilmente encontradas usando a fórmula x=(- b ± √∆) / 2a.}

No caso de duas variáveis, a forma geral seria ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, e isso representa uma cônica (parábola, hipérbole ou elipse) no plano cartesiano. Em dimensões mais altas, esse tipo de equação representa hipersuperfícies conhecidas como quádruplas.}

Qual é a diferença entre equações lineares e quadráticas?

• Uma equação linear é uma equação algébrica de grau 1, enquanto uma equação quadrática é uma equação algébrica de grau 2.

• No espaço euclidiano n-dimensional, o espaço de solução de uma equação linear n-variável é um hiperplano enquanto o de uma equação quadrática n-variável é uma superfície quádrica.