Hiperbola vs Elipse
Quando um cone é cortado em diferentes ângulos, diferentes curvas são marcadas pela borda do cone. Essas curvas são frequentemente chamadas de seções cônicas. Mais precisamente, uma seção cônica é uma curva obtida pela interseção de uma superfície cônica circular reta com uma superfície plana. Em diferentes ângulos de interseção, diferentes seções cônicas são fornecidas.
Tanto a hipérbole quanto a elipse são seções cônicas, e suas diferenças são facilmente comparadas neste contexto.
Mais sobre Elipse
Quando a interseção da superfície cônica e da superfície plana produz uma curva fechada, ela é conhecida como elipse. Tem uma excentricidade entre zero e um (0<e<1). Também pode ser definido como o lugar geométrico do conjunto de pontos em um plano tal que a soma das distâncias ao ponto de dois pontos fixos permanece constante. Esses dois pontos fixos são conhecidos como “focos”. (Lembre-se: nas aulas de matemática elementar as elipses são desenhadas usando uma corda amarrada a dois pinos fixos, ou um laço de corda e dois pinos.)
O segmento de reta que passa pelos focos é conhecido como eixo maior, e o eixo perpendicular ao eixo maior e que passa pelo centro da elipse é conhecido como eixo menor. Os diâmetros ao longo de cada eixo são conhecidos como diâmetro transversal e diâmetro conjugado, respectivamente. Metade do eixo maior é conhecido como semieixo maior e metade do eixo menor é conhecido como semieixo menor.
Cada ponto F1 e F2 são conhecidos como focos da elipse e comprimentos F1 + PF2 =2a, onde P é um ponto arbitrário na elipse. A excentricidade e é definida como a razão entre a distância de um foco ao ponto arbitrário (PF 2) e a distância perpendicular ao ponto arbitrário da diretriz (PD). Também é igual à distância entre os dois focos e o semi-eixo maior: e=PF/PD=f/a
A equação geral da elipse, quando o semieixo maior e o semieixo menor coincidem com os eixos cartesianos, é dada como segue.
x2/a2 + y2/b2=1
A geometria da elipse tem muitas aplicações, especialmente na física. As órbitas dos planetas no sistema solar são elípticas com o sol como um dos focos. Os refletores para antenas e dispositivos acústicos são feitos em formato elíptico para aproveitar o fato de que qualquer emissão de um foco irá convergir para o outro foco.
Mais sobre Hipérbole
A hipérbole também é uma seção cônica, mas é aberta. O termo hipérbole refere-se às duas curvas desconexas mostradas na figura. Em vez de fechar como uma elipse, os braços ou os ramos da hipérbole continuam até o infinito.
Os pontos onde os dois ramos têm a menor distância entre eles são conhecidos como vértices. A linha que passa pelos vértices é considerada o eixo maior ou o eixo transversal, e é um dos eixos principais da hipérbole. Os dois focos da parábola também se encontram no eixo maior. O ponto médio da linha entre os dois vértices é o centro, e o comprimento do segmento de linha é o semi-eixo maior. A mediatriz do semi-eixo maior é o outro eixo principal, e as duas curvas da hipérbole são simétricas em torno desse eixo. A excentricidade da parábola é maior que um; e > 1.
Se os eixos principais coincidem com os eixos cartesianos, a equação geral da hipérbole é da forma:
x2/a2 – y2/b2=1,
onde a é o semi-eixo maior e b é a distância do centro para qualquer foco.
As hipérboles com extremidades abertas voltadas para o eixo x são conhecidas como hipérboles leste-oeste. Hipérboles semelhantes também podem ser obtidas no eixo y. Estas são conhecidas como as hipérboles do eixo y. A equação para tais hipérboles tem a forma
y2/a2 – x2/b2=1
Qual é a diferença entre Hipérbole e Elipse?
• Ambas as elipses e hipérboles são seções cônicas, mas a elipse é uma curva fechada enquanto a hipérbole consiste em duas curvas abertas.
• Portanto, a elipse tem perímetro finito, mas a hipérbole tem comprimento infinito.
• Ambos são simétricos em torno de seus eixos maior e menor, mas a posição da diretriz é diferente em cada caso. Na elipse, está fora do semieixo maior enquanto, na hipérbole, está no semieixo maior.
• As excentricidades das duas seções cônicas são diferentes.
0 <eElipse < 1
eHiperbola > 0
• A equação geral das duas curvas parece a mesma, mas são diferentes.
• A bissetriz perpendicular do eixo maior intercepta a curva na elipse, mas não na hipérbole.
(Fonte das imagens: Wikipedia)
