Diferença entre sequência aritmética e sequência geométrica

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificação: 2024-01-17 23:43

Sequência Aritmética vs Sequência Geométrica

O estudo de padrões de números e seu comportamento é um estudo importante no campo da matemática. Muitas vezes esses padrões podem ser vistos na natureza e nos ajudam a explicar seu comportamento do ponto de vista científico. Sequências aritméticas e sequências geométricas são dois dos padrões básicos que ocorrem em números e frequentemente encontrados em fenômenos naturais.

A sequência é um conjunto de números ordenados. O número de elementos na sequência pode ser finito ou infinito.

Mais sobre Sequência Aritmética (Progressão Aritmétrica)

Uma sequência aritmética é definida como uma sequência de números com uma diferença constante entre cada termo consecutivo. Também é conhecido como progressão aritmética.

Sequência Aritmética ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; onde a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, e assim por diante.}

Se o termo inicial for a₁ e a diferença comum for d, então o n^{th termo da sequência é dado por;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Aprofundando o resultado acima, o termo n^{th também pode ser dado como;}

a_n =a_m + (n-m)d, onde a_{m é um termo aleatório na sequência tal que n > m.}

O conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares são os exemplos mais simples de sequências aritméticas, onde cada sequência tem uma diferença comum (d) de 2.

O número de termos em uma sequência pode ser infinito ou finito. No caso infinito (n → ∞), a sequência tende ao infinito dependendo da diferença comum (a_{n → ±∞). Se a diferença comum é positiva (d > 0), a sequência tende ao infinito positivo e, se a diferença comum é negativa (d < 0), tende ao infinito negativo. Se os termos são finitos, a sequência também é finita.}

A soma dos termos na sequência aritmética é conhecida como a série aritmética: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{e S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] dá o valor do série (S}n)

Mais sobre Sequência Geométrica (Progressão Geométrica)

Uma sequência geométrica é definida como uma sequência na qual o quociente de quaisquer dois termos consecutivos é uma constante. Isso também é conhecido como progressão geométrica.

Sequência geométrica ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; onde a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, e assim por diante, onde r é um número real.}

É mais fácil representar a sequência geométrica usando a razão comum (r) e o termo inicial (a). Daí a sequência geométrica ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

A forma geral dos n^th termos dados por a_n =a₁r ^n-1. (Perdendo o subscrito do termo inicial ⇒ a_n =ar^n-1)

A sequência geométrica também pode ser finita ou infinita. Se o número de termos é finito, a sequência é dita finita. E se os termos são infinitos, a sequência pode ser infinita ou finita dependendo da razão r. A razão comum afeta muitas das propriedades em sequências geométricas.

r > o	0 < r < +1	A sequência converge – decaimento exponencial, ou seja, an → 0, n → ∞
	r=1	Sequência constante, ou seja, an=constante
	r > 1	A sequência diverge – crescimento exponencial, ou seja, an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	A sequência é oscilante, mas converge
	r=1	A sequência é alternada e constante, ou seja, an=±constant
	r < -1	A sequência é alternada e divergente. ou seja, an → ±∞, n → ∞
r=0	A sequência é uma sequência de zeros

N. B: Em todos os casos acima, a₁ > 0; se a₁ < 0, os sinais relacionados a a_{n serão invertidos.}

O intervalo de tempo entre os s altos de uma bola segue uma sequência geométrica no modelo ideal, e é uma sequência convergente.

A soma dos termos da sequência geométrica é conhecida como série geométrica; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. A soma da série geométrica pode ser calculada usando a seguinte fórmula.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); onde a é o termo inicial e r é a razão.}

Se a razão, r ≤ 1, a série converge. Para uma série infinita, o valor da convergência é dado por S_n=a/(1-r)

Qual é a diferença entre Sequência/Progressão Aritmética e Geométrica?

• Em uma sequência aritmética, quaisquer dois termos consecutivos têm uma diferença comum (d) enquanto, em uma sequência geométrica, quaisquer dois termos consecutivos têm um quociente constante (r).

• Em uma sequência aritmética, a variação dos termos é linear, ou seja, pode-se traçar uma linha reta passando por todos os pontos. Em uma série geométrica, a variação é exponencial; crescendo ou decaindo com base na razão comum.

• Todas as sequências aritméticas infinitas são divergentes, enquanto as séries geométricas infinitas podem ser divergentes ou convergentes.

• A série geométrica pode apresentar oscilação se a razão r for negativa enquanto a série aritmética não apresentar oscilação