Diferença entre série de potência e série de Taylor

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 13:47

Power Series vs Taylor Series

Em matemática, uma sequência real é uma lista ordenada de números reais. Formalmente, é uma função do conjunto dos números naturais para o conjunto dos números reais. Se a_n for o n^th termo de uma sequência, denotamos a sequência por ou por um ₁, a ₂, …, a_n, … Por exemplo, considere a sequência 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Pode ser denotado como {1/n}.}

É possível definir uma série usando sequências. Uma série é a soma dos termos de uma sequência. Portanto, para cada sequência, existe uma sequência associada e vice-versa. Se {a_{n} é a sequência em consideração, então, a série formada por essa sequência pode ser representada como:}

Assim, no exemplo acima, a série associada é 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Como os nomes sugerem, a série de potências é um tipo especial de série e é amplamente utilizada em Análise Numérica e modelagem matemática relacionada. A série de Taylor é uma série de potências especial que fornece uma maneira alternativa e fácil de manipular para representar funções conhecidas.

O que é série de potência?

Uma série de potências é uma série da forma

que é convergente (possivelmente) para algum intervalo centrado em c. Os coeficientes a_{npodem ser números reais ou complexos e são independentes de x; ou seja, a variável fictícia.}

Por exemplo, definindo a_n=1 para cada n ec=0, a série de potências 1+x+x² +…..+ x^{+… é obtido. É fácil observar que quando x ε (-1, 1), essa série de potências converge para 1/(1-x).}

Uma série de potências converge quando x=c. Os outros valores de x para os quais a série de potências converge sempre terão a forma de um intervalo aberto centrado em c. Ou seja, haverá um valor 0≤ R ≤ ∞ tal que para cada x satisfazendo |x-c|≤ R, a série de potências é convergente e para cada x satisfazendo |x-c|> R, a série de potências é divergente. Este valor R é chamado de raio de convergência da série de potências (R pode assumir qualquer valor real ou infinito positivo).

As séries de potências podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas usando as seguintes regras. Considere as duas séries de potências:

Então,

i.e. termos semelhantes são adicionados ou subtraídos juntos. Além disso, é possível multiplicar e dividir as duas séries de potências usando a identidade,

O que é série de Taylor?

A série de Taylor é definida para uma função f (x) que é infinitamente diferenciável em um intervalo. Suponha que f (x) seja diferenciável em um intervalo centrado em c. Então a série de potências que é dada por

é chamada de expansão em série de Taylor da função f (x) sobre c. (Aqui f⁽ⁿ⁾ (c) denota a n^{th derivada em x=c). Na Análise Numérica, um número finito de termos nessa expansão infinita é usado no cálculo de valores em pontos onde a série é convergente à função original.}

Uma função f (x) é dita analítica no intervalo (a, b), se para cada x ε (a, b), a série de Taylor de f (x) converge para a função f (x). Por exemplo, 1/(1-x) é analítico em (-1, 1), pois sua expansão de Taylor 1+x+x²+….+ x ^{+… converge para a função nesse intervalo, e e}x ^{é analítico em todos os lugares, pois a série de Taylor de e}x ^{converge para e} x ^{para cada número real x.}

Qual é a diferença entre a série de potência e a série de Taylor?

1. A série de Taylor é uma classe especial de série de potências definida apenas para funções que são infinitamente diferenciáveis em algum intervalo aberto.

2. As séries de Taylor assumem a forma especial

enquanto, uma série de potências pode ser qualquer série da forma