Derivativa vs Integral
Diferenciação e integração são duas operações fundamentais em Cálculo. Eles têm inúmeras aplicações em diversas áreas, como matemática, engenharia e física. Tanto a derivada quanto a integral discutem o comportamento de uma função ou o comportamento de uma entidade física que nos interessa.
O que é derivada?
Suponha que y=ƒ(x) e x0 esteja no domínio de ƒ. Então limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx é chamada de taxa instantânea de variação de ƒ em x0, desde que esse limite exista finitamente. Esse limite também é chamado de derivada de at e é denotado por ƒ(x).
O valor da derivada de uma função f em um ponto arbitrário x no domínio da função é dado por limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Isso é denotado por qualquer uma das seguintes expressões: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Para funções com várias variáveis, definimos derivada parcial. A derivada parcial de uma função com várias variáveis é sua derivada em relação a uma dessas variáveis, supondo que as outras variáveis sejam constantes. O símbolo da derivada parcial é ∂.
Geometricamente a derivada de uma função pode ser interpretada como a inclinação da curva da função ƒ(x).
O que é Integral?
Integração ou antidiferenciação é o processo inverso da diferenciação. Em outras palavras, é o processo de encontrar uma função original quando a derivada da função é dada. Portanto, uma integral ou uma antiderivada de uma função ƒ(x) se, ƒ(x)=F(x) pode ser definida como a função F(x), para todo x no domínio de ƒ(x).
A expressão ∫ƒ(x) dx denota a derivada da função ƒ(x). Se ƒ(x)=F (x), então ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, onde C é uma constante, ∫ƒ(x) dx é chamado de integral indefinida de ƒ(x).
Para qualquer função ƒ, que não é necessariamente não negativa, e definida no intervalo [a, b], a∫b ƒ(x) dx é chamado de integral definida ƒ em [a, b].
A integral definida a∫bƒ(x) dx de uma função ƒ(x) pode ser geometricamente interpretada como a área do região limitada pela curva ƒ(x), o eixo x e as linhas x=a e x=b.
Qual é a diferença entre Derivada e Integral?
• A derivada é o resultado da diferenciação do processo, enquanto a integral é o resultado da integração do processo.
• A derivada de uma função representa a inclinação da curva em qualquer ponto, enquanto a integral representa a área sob a curva.
