Derivativa vs Diferencial
No cálculo diferencial, derivada e diferencial de uma função estão intimamente relacionadas, mas têm significados muito diferentes e são usadas para representar dois objetos matemáticos importantes relacionados a funções diferenciáveis.
O que é derivada?
A derivada de uma função mede a taxa na qual o valor da função muda à medida que sua entrada muda. Em funções multivariáveis, a mudança no valor da função depende da direção da mudança dos valores das variáveis independentes. Portanto, nesses casos, uma direção específica é escolhida e a função é diferenciada nessa direção específica. Essa derivada é chamada de derivada direcional. Derivadas parciais são um tipo especial de derivadas direcionais.
Derivada de uma função de valor vetorial f pode ser definida como o limite [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] onde quer que exista finitamente. Como mencionado anteriormente, isso nos dá a taxa de crescimento da função f ao longo da direção do vetor u. No caso de uma função de valor único, isso se reduz à definição bem conhecida da derivada, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Por exemplo, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] é diferenciável em todos os lugares, e a derivada é igual ao limite, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], que é igual a [latex]3x^{2}+4[/latex]. As derivadas de funções como [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existem em todos os lugares. Eles são respectivamente iguais às funções [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Isso é conhecido como primeira derivada. Normalmente a primeira derivada da função f é denotada por f (1) Agora, usando esta notação, é possível definir derivadas de ordem superior. [látex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] é a derivada direcional de segunda ordem e denota a n th derivada por f (n) para cada n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], define a derivada n th.
O que é diferencial?
Diferencial de uma função representa a mudança na função em relação às mudanças na variável ou variáveis independentes. Na notação usual, para uma dada função f de uma única variável x, a diferencial total de ordem 1 df é dada por, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Isso significa que para uma mudança infinitesimal em x (ou seja, d x), haverá uma mudança f (1)(x)d x em f.
Usando limites pode-se chegar a esta definição como segue. Suponha que ∆ x é a variação em x em um ponto arbitrário x e ∆ f é a variação correspondente na função f. Pode-se mostrar que ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, onde ϵ é o erro. Agora, o limite ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (usando a definição de derivada anteriormente declarada) e, portanto, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Portanto, é possível concluímos que, ∆ x→ 0 ϵ=0. Agora, denotando ∆ x→ 0 ∆ f como d f e ∆ x→ 0 ∆ x como d x a definição do diferencial é obtida rigorosamente.
Por exemplo, o diferencial da função [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] é [latex](3x^{2}+4)dx[/látex].
No caso de funções de duas ou mais variáveis, o diferencial total de uma função é definido como a soma dos diferenciais nas direções de cada uma das variáveis independentes. Matematicamente, pode ser declarado como [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Qual é a diferença entre derivada e diferencial?
• A derivada refere-se à taxa de variação de uma função, enquanto a diferencial refere-se à variação real da função, quando a variável independente está sujeita a variação.
• A derivada é dada por [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], mas o diferencial é dado por [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
