Diferenciação vs Derivada
No cálculo diferencial, derivada e diferenciação estão intimamente relacionadas, mas muito diferentes, e usadas para representar dois importantes conceitos matemáticos relacionados a funções.
O que é derivada?
A derivada de uma função mede a taxa na qual o valor da função muda à medida que sua entrada muda. Em funções multivariáveis, a mudança no valor da função depende da direção da mudança dos valores das variáveis independentes. Portanto, nesses casos, uma direção específica é escolhida e a função é diferenciada nessa direção específica. Essa derivada é chamada de derivada direcional. Derivadas parciais são um tipo especial de derivadas direcionais.
Derivada de uma função de valor vetorial f pode ser definida como o limite [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] onde quer que exista finitamente. Como mencionado anteriormente, isso nos dá a taxa de crescimento da função f ao longo da direção do vetor u. No caso de uma função de valor único, isso se reduz à definição bem conhecida da derivada, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Por exemplo, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] é diferenciável em todos os lugares, e a derivada é igual ao limite, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], que é igual a [latex]3x^{2}+4[/latex]. As derivadas de funções como [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existem em todos os lugares. Eles são respectivamente iguais às funções [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Isso é conhecido como primeira derivada. Normalmente a primeira derivada da função f é denotada por f (1) Agora, usando esta notação, é possível definir derivadas de ordem superior. [látex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] é a derivada direcional de segunda ordem e denota a n th derivada por f (n) para cada n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], define a derivada n th.
O que é diferenciação?
Diferenciação é o processo de encontrar a derivada de uma função diferenciável. O operador D denotado por D representa a diferenciação em alguns contextos. Se x é a variável independente, então D ≡ d/dx. O operador D é um operador linear, ou seja, para quaisquer duas funções diferenciáveis f e g e constante c, as seguintes propriedades são mantidas.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Usando o operador D, as outras regras associadas à diferenciação podem ser expressas da seguinte forma. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 and D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Por exemplo, quando F(x)=x 2sen x é diferenciado em relação a x usando as regras dadas, a resposta será 2 x sen x + x2cos x.
Qual é a diferença entre diferenciação e derivada?• Derivada refere-se a uma taxa de variação de uma função • Diferenciação é o processo de encontrar a derivada de uma função. |
