Diferença entre integral de Riemann e integral de Lebesgue

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 13:47

Integral de Riemann vs Integral de Lebesgue

Integração é um tópico principal em cálculo. Em um sentido mais amplo, a integração pode ser vista como o processo inverso da diferenciação. Ao modelar problemas do mundo real, é fácil escrever expressões envolvendo derivadas. Em tal situação, a operação de integração é necessária para encontrar a função, que deu a derivada particular.

De outro ângulo, a integração é um processo, que resume o produto de uma função ƒ(x) e δx, onde δx tende a ser um certo limite. É por isso que usamos o símbolo de integração como ∫. O símbolo ∫ é, de fato, o que obtemos esticando a letra s para nos referirmos a soma.

Integral de Riemann

Considere uma função y=ƒ(x). A integral de y entre a e b, onde a e b pertencem a um conjunto x, é escrita como _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Isso é chamado de integral definida da função de valor único e contínua y=ƒ(x) entre a e b. Isso dá a área sob a curva entre a e b. Isso também é chamado de integral de Riemann. A integral de Riemann foi criada por Bernhard Riemann. A integral de Riemann de uma função contínua é baseada na medida de Jordan, portanto, também é definida como o limite das somas de Riemann da função. Para uma função de valor real definida em um intervalo fechado, a integral de Riemann da função em relação a uma partição x₁, x₂, …, x n _{definido no intervalo [a, b] e t}1_{, t}2_{, …, t n}, onde x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 para cada i ε {1, 2, …, n}, a soma de Riemann é definida como Σ_{i=o para n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue é outro tipo de integral, que cobre uma grande variedade de casos do que a integral de Riemann. A integral de Lebesgue foi introduzida por Henri Lebesgue em 1902. A integração de Legesgue pode ser considerada como uma generalização da integração de Riemann.

Por que precisamos estudar outra integral?

Vamos considerar a função característica ƒ_{A (x)=}{_{0 if, x not ε A}^{1 if, x ε A}em um conjunto A. Então combinação linear finita de funções características, que é definida como F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) é chamada de função simples se E} i _{for mensurável para cada i. A integral de Lebesgue de F (x) sobre E é denotada por} E_{∫ ƒ(x)dx. A função F(x) não é integrável a Riemann. Portanto, a integral de Lebesgue é reformulada a integral de Riemann, que tem algumas restrições sobre as funções a serem integradas.}

Qual é a diferença entre Integral de Riemann e Integral de Lebesgue?

· A integral de Lebesgue é uma forma de generalização da integral de Riemann.

· A integral de Lebesgue permite uma infinidade contável de descontinuidades, enquanto a integral de Riemann permite um número finito de descontinuidades.