Associativo vs Comutativo
No nosso dia a dia, temos que usar números sempre que precisamos medir alguma coisa. No supermercado, no posto de gasolina e até na cozinha, precisamos somar, subtrair e multiplicar duas ou mais quantidades. A partir de nossa prática, realizamos esses cálculos com bastante facilidade. Nunca notamos ou questionamos por que fazemos essas operações dessa maneira específica. Ou por que esses cálculos não podem ser feitos de maneira diferente. A resposta está escondida na forma como essas operações são definidas no campo matemático da álgebra.
Em álgebra, uma operação envolvendo duas quantidades (como adição) é definida como uma operação binária. Mais precisamente, é uma operação entre dois elementos de um conjunto e esses elementos são chamados de ‘operando’. Muitas operações em matemática, incluindo operações aritméticas mencionadas anteriormente e as encontradas na teoria dos conjuntos, álgebra linear e lógica matemática, podem ser definidas como operações binárias.
Existe um conjunto de regras que regem uma operação binária específica. As propriedades associativas e comutativas são duas propriedades fundamentais das operações binárias.
Mais sobre propriedade comutativa
Suponha que alguma operação binária, denotada pelo símbolo ⊗, seja realizada nos elementos A e B. Se a ordem dos operandos não está afetando o resultado da operação, então a operação é dita comutativa. ou seja, se A ⊗ B=B ⊗ A então a operação é comutativa.
As operações aritméticas adição e multiplicação são comutativas. A ordem dos números somados ou multiplicados não afeta a resposta final:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Mas no caso de divisão a mudança na ordem dá o recíproco da outra, e na subtração a mudança dá o negativo da outra. Portanto, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 e 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 e 5 ÷ 4=1,25 [neste caso A, B ≠ 1 e 0]
De fato, a subtração é dita anticomutativa; onde A – B=– (B – A).
Além disso, os conectivos lógicos, a conjunção, a disjunção, a implicação e a equivalência também são comutativos. As funções de verdade também são comutativas. As operações de conjunto união e interseção são comutativas. A adição e o produto escalar dos vetores também são comutativos.
Mas a subtração vetorial e o produto vetorial não são comutativos (o produto vetorial de dois vetores é anticomutativo). A adição de matrizes é comutativa, mas a multiplicação e a subtração não são comutativas.(A multiplicação de duas matrizes pode ser comutativa em casos especiais, como a multiplicação de uma matriz com sua inversa ou a matriz identidade; mas definitivamente as matrizes não são comutativas se as matrizes não forem do mesmo tamanho)
Mais sobre Propriedade Associativa
Uma operação binária é dita associativa se a ordem de execução não afetar o resultado quando duas ou mais ocorrências do operador estiverem presentes. Considere os elementos A, B e C e a operação binária ⊗. A operação ⊗ é dita associativa se
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Nas funções aritméticas básicas, apenas a adição e a multiplicação são associativas.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
A subtração e a divisão não são associativas;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 e (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 e (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Os conectivos lógicos disjunção, conjunção e equivalência são associativos, assim como as operações de conjunto união e interseção. A adição de matriz e vetor é associativa. O produto escalar de vetores é associativo, mas o produto vetorial não é. A multiplicação de matrizes é associativa apenas em circunstâncias especiais.
Qual é a diferença entre propriedade comutativa e associativa?
• Tanto a propriedade associativa quanto a propriedade comutativa são propriedades especiais das operações binárias, e algumas as satisfazem e outras não.
• Essas propriedades podem ser vistas em muitas formas de operações algébricas e outras operações binárias em matemática, como a interseção e união na teoria dos conjuntos ou os conectivos lógicos.
• A diferença entre comutativo e associativo é que a propriedade comutativa afirma que a ordem dos elementos não altera o resultado final, enquanto a propriedade associativa afirma que a ordem em que a operação é executada não afeta a resposta final.
