Eventos Mutuamente Exclusivos vs Independentes
As pessoas muitas vezes confundem o conceito de eventos mutuamente exclusivos com eventos independentes. Na verdade, são duas coisas diferentes.
Seja A e B quaisquer dois eventos associados a um experimento aleatório E. P(A) é chamado de “Probabilidade de A”. Da mesma forma, podemos definir probabilidade de B como P(B), probabilidade de A ou B como P(A∪B), e probabilidade de A e B como P(A∩B). Então, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
No entanto, dois eventos ditos mutuamente exclusivos se a ocorrência de um evento não afetar o outro. Em outras palavras, eles não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, então A∩B=∅ e, portanto, isso implica P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Seja A e B dois eventos em um espaço amostral S. A probabilidade condicional de A, dado que B ocorreu, é denotada por P(A | B) e é definida como; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), desde P(B)>0. (caso contrário, não está definido.)
Um evento A é dito independente de um evento B, se a probabilidade de que A ocorra não é influenciada pelo fato de B ter ocorrido ou não. Em outras palavras, o resultado do evento B não tem efeito sobre o resultado do evento A. Portanto, P(A | B)=P(A). Da mesma forma, B é independente de A se P(B)=P(B | A). Portanto, podemos concluir que se A e B são eventos independentes, então P(A∩B)=P(A). P(B)
Assuma que um cubo numerado é rolado e uma moeda honesta é lançada. Seja A o evento de obter uma cara e B o evento de rolar um número par. Então podemos concluir que os eventos A e B são independentes, pois o resultado de um não afeta o resultado do outro. Portanto, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Como P(A∩B)≠0, A e B não podem ser mutuamente exclusivos.
Suponha que uma urna contenha 7 bolinhas brancas e 8 bolinhas pretas. Defina o evento A como desenhar uma bolinha branca e o evento B como desenhar uma bolinha preta. Assumindo que cada bolinha será substituída após anotar sua cor, então P(A) e P(B) serão sempre os mesmos, não importa quantas vezes tiremos da urna. Substituir as bolinhas significa que as probabilidades não mudam de sorteio para sorteio, não importa a cor que escolhemos no último sorteio. Portanto, os eventos A e B são independentes.
No entanto, se as bolinhas forem retiradas sem reposição, tudo muda. Sob essa suposição, os eventos A e B não são independentes. Tirar uma bolinha branca na primeira vez altera as probabilidades de tirar uma bolinha preta na segunda retirada e assim por diante. Em outras palavras, cada sorteio tem um efeito no próximo sorteio e, portanto, os sorteios individuais não são independentes.
Diferença entre eventos mutuamente exclusivos e independentes
– A exclusividade mútua de eventos significa que não há sobreposição entre os conjuntos A e B. Independência de eventos significa que a ocorrência de A não afeta a ocorrência de B.
– Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, então P(A∩B)=0.
– Se dois eventos A e B são independentes, então P(A∩B)=P(A). P(B)
