Equações diferenciais lineares vs não lineares
Uma equação contendo pelo menos um coeficiente diferencial ou derivada de uma variável desconhecida é conhecida como equação diferencial. Uma equação diferencial pode ser linear ou não linear. O escopo deste artigo é explicar o que é equação diferencial linear, o que é equação diferencial não linear e qual é a diferença entre equações diferenciais lineares e não lineares.
Desde o desenvolvimento do cálculo no século 18 por matemáticos como Newton e Leibnitz, a equação diferencial tem desempenhado um papel importante na história da matemática. As equações diferenciais são de grande importância em matemática devido à sua gama de aplicações. As equações diferenciais estão no centro de cada modelo que desenvolvemos para explicar qualquer cenário ou evento no mundo, seja em física, engenharia, química, estatística, análise financeira ou biologia (a lista é interminável). De fato, até que o cálculo se tornasse uma teoria estabelecida, ferramentas matemáticas apropriadas não estavam disponíveis para analisar os problemas interessantes da natureza.
As equações resultantes de uma aplicação específica do cálculo podem ser muito complexas e, às vezes, insolúveis. No entanto, existem alguns que podemos resolver, mas podem parecer parecidos e confusos. Portanto, para facilitar a identificação, as equações diferenciais são categorizadas por seu comportamento matemático. Linear e não linear é uma dessas categorizações. É importante identificar a diferença entre equações diferenciais lineares e não lineares.
O que é uma equação diferencial linear?
Suponha que f: X→Y ef(x)=y, uma equação diferencial sem termos não lineares da função desconhecida y e suas derivadas é conhecida como equação diferencial linear.
Impõe a condição de que y não pode ter termos de índice mais altos como y2, y3, … e múltiplos de derivadas como como
Também não pode conter termos não lineares como Sin y, e y ^-2 ou ln y. Tem a forma,
onde y e g são funções de x. A equação é uma equação diferencial de ordem n, que é o índice da derivada de ordem mais alta.
Em uma equação diferencial linear, o operador diferencial é um operador linear e as soluções formam um espaço vetorial. Como resultado da natureza linear do conjunto de soluções, uma combinação linear das soluções também é uma solução para a equação diferencial. Ou seja, se y1 e y2 são soluções da equação diferencial, então C1 y 1+ C2 y2 também é uma solução.
A linearidade da equação é apenas um parâmetro da classificação, podendo ainda ser categorizada em equações diferenciais homogêneas ou não homogêneas e ordinárias ou parciais. Se a função é g=0, então a equação é uma equação diferencial homogênea linear. Se f é uma função de duas ou mais variáveis independentes (f: X, T→Y) e f(x, t)=y, então a equação é uma equação diferencial parcial linear.
O método de solução para a equação diferencial depende do tipo e dos coeficientes da equação diferencial. O caso mais fácil surge quando os coeficientes são constantes. Um exemplo clássico para este caso é a segunda lei do movimento de Newton e suas várias aplicações. A segunda lei de Newton produz uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que é uma equação diferencial não linear?
Equações que contêm termos não lineares são conhecidas como equações diferenciais não lineares.
Todas acima são equações diferenciais não lineares. Equações diferenciais não lineares são difíceis de resolver, portanto, um estudo minucioso é necessário para obter uma solução correta. No caso de equações diferenciais parciais, a maioria das equações não tem solução geral. Portanto, cada equação deve ser tratada de forma independente.
Equação de Navier-Stokes e a equação de Euler na dinâmica dos fluidos, as equações de campo da relatividade geral de Einstein são bem conhecidas equações diferenciais parciais não lineares. Às vezes, a aplicação da equação de Lagrange a um sistema variável pode resultar em um sistema de equações diferenciais parciais não lineares.
Qual é a diferença entre equações diferenciais lineares e não lineares?
• Uma equação diferencial, que possui apenas os termos lineares da variável desconhecida ou dependente e suas derivadas, é conhecida como equação diferencial linear. Não possui termo com variável dependente de índice maior que 1 e não contém nenhum múltiplo de suas derivadas. Ele não pode ter funções não lineares, como funções trigonométricas, funções exponenciais e funções logarítmicas em relação à variável dependente. Qualquer equação diferencial que contenha os termos mencionados acima é uma equação diferencial não linear.
• Soluções de equações diferenciais lineares criam espaço vetorial e o operador diferencial também é um operador linear no espaço vetorial.
• As soluções de equações diferenciais lineares são relativamente mais fáceis e existem soluções gerais. Para equações não lineares, na maioria dos casos, a solução geral não existe e a solução pode ser específica do problema. Isso torna a solução muito mais difícil do que as equações lineares.
