Diferença entre integração e soma

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 13:47

Integração vs Soma

Na matemática do ensino médio, integração e soma são frequentemente encontradas em operações matemáticas. Eles são aparentemente usados como ferramentas diferentes e em situações diferentes, mas compartilham um relacionamento muito próximo.

Mais sobre Soma

Soma é a operação de adicionar uma sequência de números e a operação é muitas vezes denotada pela letra grega maiúscula sigma Σ. É usado para abreviar a soma e igualar a soma/total da sequência. Eles são frequentemente usados para representar as séries, que essencialmente são sequências infinitas somadas. Eles também podem ser usados para indicar a soma de vetores, matrizes ou polinômios.

A soma geralmente é feita para um intervalo de valores que pode ser representado por um termo geral, como uma série que possui um termo comum. O ponto inicial e o ponto final da soma são conhecidos como o limite inferior e o limite superior da soma, respectivamente.

Por exemplo, a soma da sequência a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n é a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n que pode ser facilmente representado usando a notação de soma como ∑ _i=1 a_{i; i é chamado de índice de soma.}

Muitas variações são usadas para a soma com base na aplicação. Em alguns casos, o limite superior e o limite inferior podem ser dados como um intervalo ou um intervalo, como ∑_1≤i≤100 a_i e ∑_{i∈[1, 100]} a_i Ou pode ser dado como um conjunto de números como ∑_i∈P a_{i, onde P é um conjunto definido.}

Em alguns casos, dois ou mais sinais sigma podem ser usados, mas podem ser generalizados da seguinte forma; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Além disso, a soma segue muitas regras algébricas. Como a operação incorporada é a adição, muitas das regras comuns da álgebra podem ser aplicadas às próprias somas e aos termos individuais representados pela soma.

Mais sobre Integração

A integração é definida como o processo inverso da diferenciação. Mas em sua visão geométrica também pode ser considerada como a área delimitada pela curva da função e pelo eixo. Portanto, o cálculo da área dá o valor de uma integral definida como mostrado no diagrama.

Fonte da imagem:

O valor da integral definida é na verdade a soma das pequenas tiras dentro da curva e do eixo. A área de cada faixa é a altura x largura no ponto do eixo considerado. A largura é um valor que podemos escolher, digamos ∆x. E altura é aproximadamente o valor da função no ponto considerado, digamos f (x_{i). A partir do diagrama, fica evidente que quanto menores as faixas, melhor as faixas se encaixam dentro da área delimitada, portanto, melhor aproximação do valor.}

Então, em geral a integral definida I, entre os pontos a e b (ou seja, no intervalo [a, b] onde a<b), pode ser dada como I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, onde n é o número de tiras (n=(b-a)/∆x). Esta soma da área pode ser facilmente representada usando a notação de soma como I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Como a aproximação é melhor quando ∆x é menor, podemos calcular o valor quando ∆x→0. Portanto, é razoável dizer I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Como generalização do conceito acima, podemos escolher o ∆x com base no intervalo considerado indexado por i (escolhendo a largura da área com base na posição). Então temos

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Isso é conhecido como a Integral de Reimann da função f (x) no intervalo [a, b]. Neste caso, a e b são conhecidos como o limite superior e o limite inferior da integral. A integral de Reimann é uma forma básica de todos os métodos de integração.

Em essência, a integração é a soma da área quando a largura do retângulo é infinitesimal.

Qual é a diferença entre Integração e Soma?

• A soma é a soma de uma sequência de números. Normalmente, a soma é dada nesta forma ∑_i=1 a_{i quando os termos na sequência têm um padrão e podem ser expressos usando um termo geral.}

• Integração é basicamente a área limitada pela curva da função, o eixo e os limites superior e inferior. Esta área pode ser dada como a soma de áreas muito menores incluídas na área limitada.

• A soma envolve os valores discretos com os limites superior e inferior, enquanto a integração envolve valores contínuos.

• A integração pode ser interpretada como uma forma especial de soma.

• Em métodos de computação numérica, a integração é sempre realizada como uma soma.