Variáveis Aleatórias vs Distribuição de Probabilidade
Experiências estatísticas são experiências aleatórias que podem ser repetidas indefinidamente com um conjunto conhecido de resultados. Tanto as variáveis aleatórias quanto as distribuições de probabilidade estão associadas a tais experimentos. Para cada variável aleatória, há uma distribuição de probabilidade associada definida por uma função chamada função de distribuição cumulativa.
O que é uma variável aleatória?
Uma variável aleatória é uma função que atribui valores numéricos aos resultados de um experimento estatístico. Em outras palavras, é uma função definida a partir do espaço amostral de um experimento estatístico no conjunto dos números reais.
Por exemplo, considere um experimento aleatório de jogar uma moeda duas vezes. Os resultados possíveis são HH, HT, TH e TT (H – caras, T – contos). Seja a variável X o número de caras observadas no experimento. Então, X pode assumir os valores 0, 1 ou 2, e é uma variável aleatória. Aqui, a variável aleatória X irá mapear o conjunto S={HH, HT, TH, TT} (o espaço amostral) para o conjunto {0, 1, 2} de tal forma que HH é mapeado para 2, HT e TH são mapeados para 1 e TT é mapeado para 0. Em notação de função, isso pode ser escrito como X: S → R onde X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 e X(TT)=0.
Existem dois tipos de variáveis aleatórias: discretas e contínuas, portanto o número de valores possíveis que uma variável aleatória pode assumir é no máximo contável ou não. No exemplo anterior, a variável aleatória X é uma variável aleatória discreta, pois {0, 1, 2} é um conjunto finito. Agora, considere o experimento estatístico de encontrar os pesos dos alunos em uma classe. Seja Y a variável aleatória definida como o peso de um aluno. Y pode assumir qualquer valor real dentro de um intervalo específico. Portanto, Y é uma variável aleatória contínua.
O que é uma distribuição de probabilidade?
Distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade de uma variável aleatória assumir determinados valores.
Uma função chamada função de distribuição cumulativa (F) pode ser definida a partir do conjunto de números reais para o conjunto de números reais como F(x)=P(X ≤ x) (a probabilidade de X ser menor ou igual a x) para cada resultado possível x. Agora a função de distribuição cumulativa de X no primeiro exemplo pode ser escrita como F(a)=0, se a<0; F(a)=0,25, se 0≤a<1; F(a)=0,75, se 1≤a<2 e F(a)=1, se a≥2.
No caso de variáveis aleatórias discretas, uma função pode ser definida a partir do conjunto de resultados possíveis para o conjunto de números reais de tal forma que ƒ(x)=P(X=x) (a probabilidade de X sendo igual a x) para cada resultado possível x. Essa função particular ƒ é chamada de função de massa de probabilidade da variável aleatória X. Agora, a função de massa de probabilidade de X no primeiro exemplo particular pode ser escrita como ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25, e ƒ(x)=0 caso contrário. Assim, a função de massa de probabilidade junto com a função de distribuição cumulativa descreverá a distribuição de probabilidade de X no primeiro exemplo.
No caso de variáveis aleatórias contínuas, uma função chamada função densidade de probabilidade (ƒ) pode ser definida como ƒ(x)=dF(x)/dx para cada x onde F é a função de distribuição cumulativa do variável aleatória contínua. É fácil ver que esta função satisfaz ∫ƒ(x)dx=1. A função de densidade de probabilidade junto com a função de distribuição cumulativa descreve a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua. Por exemplo, a distribuição normal (que é uma distribuição de probabilidade contínua) é descrita usando a função de densidade de probabilidade ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Qual é a diferença entre Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidade?
• Variável aleatória é uma função que associa valores de um espaço amostral a um número real.
• A distribuição de probabilidade é uma função que associa os valores que uma variável aleatória pode assumir à respectiva probabilidade de ocorrência.
