Cardinal vs Ordinal
No nosso dia a dia, o uso de números pode assumir diferentes formas em diferentes situações. Por exemplo, quando contamos para descobrir o tamanho de uma coleção de objetos, contamos como um, dois, três e assim por diante. Quando queremos contar algo para ter noção da posição dos objetos, contamos como primeiro, segundo, terceiro e assim por diante. Na primeira forma de contagem, os números são chamados de números cardinais. Na segunda forma de contagem, os números são considerados números ordinais. Nesse contexto, os conceitos cardinal e ordinal são completamente uma questão de linguística; cardinal e ordinal são adjetivos.
No entanto, a extensão do conceito para conjuntos em matemática revela uma perspectiva muito mais profunda e ampla e não pode ser tratada em termos simples. Neste artigo, tentaremos entender os conceitos fundamentais de números cardinais e ordinais em matemática.
Definições formais de números cardinais e ordinais são fornecidas na teoria dos conjuntos. As definições são intrincadas e para entendê-las em perfeito sentido é preciso conhecimento prévio em teoria dos conjuntos. Portanto, vamos nos voltar para alguns exemplos, para entender os conceitos heuristicamente.
Considere os dois conjuntos {1, 3, 6, 4, 5, 2} e {ônibus, carro, balsa, trem, avião, helicóptero}. Cada conjunto lista um conjunto de elementos, e se contarmos o número de elementos fica evidente que cada um tem o mesmo número de elementos, que é 6. Chegando a esta conclusão pegamos o tamanho de um conjunto e comparamos com outro usando um número. Esse número é chamado de número cardinal. Portanto, podemos dizer que um número cardinal é um número que podemos usar para comparar o tamanho dos conjuntos finitos.
Novamente o primeiro conjunto de números pode ser organizado em ordem crescente considerando o tamanho de cada elemento e comparando-os. No processo de ordenação, os números são considerados como cardinais. Da mesma forma, o conjunto de todos os inteiros não negativos pode ser ordenado em um conjunto; ou seja, {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Mas, neste caso, o tamanho do conjunto torna-se infinito e não é possível fornecê-lo em termos de ordinais. Não importa o tamanho do número que você escolher para dar o tamanho do conjunto, ainda haverá números deixados de fora do conjunto que você escolher e que são inteiros não negativos.
Portanto, os matemáticos definem este cardinal infinito (que é o primeiro) como Aleph-0, escrito como א (primeira letra do alfabeto hebraico). Formalmente, o número ordinal é o tipo de ordem de um conjunto bem ordenado. Portanto, o número ordinal dos conjuntos finitos pode ser dado por números cardinais, mas para conjuntos infinitos o ordinal é dado por números transfinitos como Aleph-0.
Qual é a diferença entre números cardinais e ordinais?
• O número cardinal é um número que pode ser usado para contar, ou para dar o tamanho de um conjunto finito ordenado. Todos os números cardinais são ordinais.
• Os números ordinais são números usados para fornecer o tamanho de conjuntos ordenados finitos e infinitos. O tamanho dos conjuntos ordenados finitos é dado por numerais algébricos hindu-arábicos usuais, e o tamanho do conjunto infinito é dado por números transfinitos.
