Definidas vs Integrais Indefinidas
Cálculo é um ramo importante da matemática, e a diferenciação desempenha um papel crítico no cálculo. O processo inverso da diferenciação é conhecido como integração, e o inverso é conhecido como integral, ou simplesmente, o inverso da diferenciação dá uma integral. Com base nos resultados que produzem, as integrais são divididas em duas classes; integrais definidas e indefinidas.
Mais sobre Integrais Indefinidas
A integral indefinida é mais uma forma geral de integração e pode ser interpretada como a antiderivada da função considerada. Suponha que a diferenciação de F dê f, e a integração de f dê a integral. Muitas vezes é escrito como F(x)=∫ƒ(x)dx ou F=∫ƒ dx onde ambos F e ƒ são funções de x, e F é diferenciável. Na forma acima, ela é chamada de integral de Reimann e a função resultante acompanha uma constante arbitrária. Uma integral indefinida geralmente produz uma família de funções; portanto, a integral é indefinida.
Integrais e processos de integração estão no centro da resolução de equações diferenciais. Entretanto, diferentemente da diferenciação, a integração nem sempre segue uma rotina clara e padronizada; às vezes, a solução não pode ser expressa explicitamente em termos de função elementar. Nesse caso, a solução analítica geralmente é dada na forma de uma integral indefinida.
Mais sobre Integrais Definidas
Integrais definidas são as contrapartidas muito valiosas de integrais indefinidas onde o processo de integração realmente produz um número finito. Pode ser definida graficamente como a área limitada pela curva da função ƒ dentro de um determinado intervalo. Sempre que a integração é realizada dentro de um determinado intervalo da variável independente, a integração produz um valor definido que é frequentemente escrito como a∫bƒ(x) dx ou a∫b ƒdx.
As integrais indefinidas e as integrais definidas são interconectadas através do primeiro teorema fundamental do cálculo, e isso permite que a integral definida seja calculada usando as integrais indefinidas. O teorema afirma a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) onde ambos F e ƒ são funções de x, e F é diferenciável no intervalo (a, b). Considerando o intervalo, aeb são conhecidos como limite inferior e limite superior, respectivamente.
Em vez de parar apenas com funções reais, a integração pode ser estendida para funções complexas e essas integrais são chamadas de integrais de contorno, onde ƒ é uma função da variável complexa.
Qual é a diferença entre Integrais Definidas e Indefinidas?
As integrais indefinidas representam a antiderivada de uma função e, muitas vezes, uma família de funções em vez de uma solução definida. Em integrais definidas, a integração dá um número finito.
As integrais indefinidas associam uma variável arbitrária (daí a família de funções) e as integrais definidas não têm uma constante arbitrária, mas um limite superior e um limite inferior de integração.
A integral indefinida geralmente fornece uma solução geral para a equação diferencial.
