Ortogonal vs Ortonormal
Em matemática, as duas palavras ortogonal e ortonormal são frequentemente usadas junto com um conjunto de vetores. Aqui, o termo ‘vetor’ é usado no sentido de que é um elemento de um espaço vetorial – uma estrutura algébrica usada em álgebra linear. Para nossa discussão, consideraremos um espaço de produto interno – um espaço vetorial V junto com um produto interno definido em V.
Como exemplo, para um produto interno, o espaço é o conjunto de todos os vetores de posição tridimensionais junto com o produto escalar usual.
O que é ortogonal?
Um subconjunto não vazio S de um espaço de produto interno V é dito ortogonal, se e somente se para cada u, v distinto em S, [u, v]=0; ou seja, o produto interno de u e v é igual ao escalar zero no espaço do produto interno.
Por exemplo, no conjunto de todos os vetores de posição tridimensionais, isso equivale a dizer que, para cada par distinto de vetores de posição p e q em S, peq são perpendiculares entre si. (Lembre-se que o produto interno neste espaço vetorial é o produto escalar. Além disso, o produto escalar de dois vetores é igual a 0 se e somente se os dois vetores são perpendiculares entre si.)
Considere o conjunto S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, que é um subconjunto dos vetores de posição tridimensionais. Observe que (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Portanto, o conjunto S é ortogonal. Em particular, dois vetores são ditos ortogonais se seu produto interno for 0. Portanto, cada par de vetores em Si é ortogonal.
O que é ortonormal?
Um subconjunto não vazio S de um espaço de produto interno V é dito ortonormal se e somente se S é ortogonal e para cada vetor u em S, [u, u]=1. Portanto, pode-se ver que todo conjunto ortonormal é ortogonal, mas não vice-versa.
Por exemplo, no conjunto de todos os vetores de posição tridimensionais, isso equivale a dizer que, para cada par distinto de vetores de posição p e q em S, p e q são perpendiculares entre si, e para cada p em S, |p|=1. Isso ocorre porque a condição [p, p]=1 se reduz a p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, que é equivalente a |p |=1. Portanto, dado um conjunto ortogonal sempre podemos formar um conjunto ortonormal correspondente dividindo cada vetor por sua magnitude.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} é um subconjunto ortonormal do conjunto de todos os vetores de posição tridimensionais. É fácil ver que ela foi obtida dividindo cada um dos vetores do conjunto S, por suas magnitudes.
Qual é a diferença entre ortogonal e ortonormal?
- Um subconjunto não vazio S de um espaço de produto interno V é dito ortogonal, se e somente se para cada u, v distinto em S, [u, v]=0. No entanto, é ortonormal, se e somente se uma condição adicional – para cada vetor u em S, [u, u]=1 for satisfeita.
- Qualquer conjunto ortonormal é ortogonal, mas não vice-versa.
- Qualquer conjunto ortogonal corresponde a um único conjunto ortonormal, mas um conjunto ortonormal pode corresponder a muitos conjuntos ortogonais.
