Transposição vs Transposição Conjugada
A transposição de uma matriz A pode ser identificada como a matriz obtida reorganizando as colunas como linhas ou as linhas como colunas. Como resultado, os índices de cada elemento são trocados. Mais formalmente, a transposição de uma matriz A, é definida como
onde
Em uma matriz de transposição, a diagonal permanece in alterada. Mas todos os outros elementos são girados em torno da diagonal. Além disso, o tamanho das matrizes também muda de m×n para n×m.
A transposição tem algumas propriedades importantes, e elas permitem uma manipulação mais fácil de matrizes. Além disso, algumas matrizes de transposição importantes são definidas com base em suas características. Se a matriz é igual à sua transposta, então a matriz é simétrica. Se a matriz for igual ao seu negativo da transposição, então a matriz é uma simétrica assimétrica.
A transposição conjugada de uma matriz é a transposição da matriz com os elementos substituídos por seu conjugado complexo. Ou seja, o conjugado complexo (A) é definido como a transposição do conjugado complexo da matriz A.
A=(Ā)T; Em detalhes,
onde
e āji ε C.
Também é conhecido como transposto Hermitiano e conjugado Hermitiano. Se a transposição conjugada for igual à própria matriz, a matriz é conhecida como matriz Hermitiana. Se a transposição conjugada for igual ao negativo da matriz, é uma matriz hermitiana inclinada. E se a inversa da matriz for igual ao conjugado complexo, a matriz é unitária.
Da mesma forma, todas as matrizes especiais conjugadas complexas também possuem propriedades especiais que podem ser usadas para manipulá-las matematicamente facilmente. A transposição conjugada é amplamente utilizada na mecânica quântica e seus campos relevantes.
Qual é a diferença entre Transpose e Conjugate Transpose?
• A transposição de uma matriz é obtida reorganizando colunas em linhas ou linhas em colunas. O conjugado complexo de uma matriz é obtido substituindo cada elemento pelo seu conjugado complexo (ou seja, x+iy ⇛ x-iy ou vice-versa). A transposição conjugada é obtida realizando ambas as operações na matriz.
• Portanto, a transposição conjugada é apenas uma matriz de transposição com seus conjugados complexos como elementos.
