Diferença entre distribuição binomial e normal

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 13:47

Distribuição Binomial vs Normal

As distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias desempenham um papel importante no campo da estatística. Dessas distribuições de probabilidade, a distribuição binomial e a distribuição normal são duas das mais comuns na vida real.

O que é distribuição binomial?

Distribuição binomial é a distribuição de probabilidade correspondente à variável aleatória X, que é o número de sucessos de uma sequência finita de experimentos sim/não independentes, cada um com uma probabilidade de sucesso p. A partir da definição de X, fica evidente que se trata de uma variável aleatória discreta; portanto, a distribuição binomial também é discreta.

A distribuição é denotada como X ~ B (n, p) onde n é o número de experimentos ep é a probabilidade de sucesso. De acordo com a teoria da probabilidade, podemos deduzir que B (n, p) segue a função de massa de probabilidade [látex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. A partir desta equação, pode-se deduzir ainda que o valor esperado de X, E(X)=np e a variância de X, V(X)=np (1- p).

Por exemplo, considere um experimento aleatório de jogar uma moeda 3 vezes. Defina sucesso como obter H, fracasso como obter T e a variável aleatória X como o número de sucessos no experimento. Então X ~ B (3, 0,5) e a função de massa de probabilidade de X dada por [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Portanto, a probabilidade de obter pelo menos 2 H's é P(X ≥ 2)=P (X=2 ou X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0.5²)(0.5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

O que é distribuição normal?

Distribuição normal é a distribuição de probabilidade contínua definida pela função de densidade de probabilidade, [látex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Os parâmetros [latex] \mu e \\sigma [/latex] denotam a média e o desvio padrão da população de interesse. Quando [latex] \mu=0 e \\sigma=1 [/latex] a distribuição é chamada de distribuição normal padrão.

Esta distribuição é chamada normal, pois a maioria dos fenômenos naturais segue a distribuição normal. Por exemplo, o QI da população humana é normalmente distribuído. Como visto no gráfico, é unimodal, simétrico em relação à média e em forma de sino. A média, moda e mediana são coincidentes. A área sob a curva corresponde à porção da população que satisfaz uma determinada condição.

As porções da população no intervalo [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] são aproximadamente 68,2%, 95,6% e 99,8% respectivamente.

Qual é a diferença entre Distribuições Binomial e Normal?

• A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta, enquanto a distribuição normal é contínua.
• A função de massa de probabilidade da distribuição binomial é [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], enquanto a função de densidade de probabilidade da distribuição normal é [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• A distribuição binomial é aproximada com a distribuição normal sob certas condições, mas não o contrário.