Função Discreta vs Função Contínua
Funções são uma das classes mais importantes de objetos matemáticos, que são amplamente utilizadas em quase todos os subcampos da matemática. Como seus nomes sugerem, funções discretas e funções contínuas são dois tipos especiais de funções.
Uma função é uma relação entre dois conjuntos definidos de tal forma que para cada elemento do primeiro conjunto, o valor que lhe corresponde no segundo conjunto é único. Seja f uma função definida do conjunto A para o conjunto B. Então, para cada x ϵ A, o símbolo f (x) denota o valor único no conjunto B que corresponde a x. Ela é chamada de imagem de x sob f. Portanto, uma relação f de A em B é uma função, se e somente se para, cada xϵ A e y ϵ A; se x=y então f (x)=f (y). O conjunto A é chamado de domínio da função f, e é o conjunto no qual a função é definida.
Por exemplo, considere a relação f de R em R definida por f (x)=x + 2 para cada xϵ A. Esta é uma função cujo domínio é R, pois para cada número real x e y, x=y implica f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Mas a relação g de N em N definida por g (x)=a, onde 'a' é um fator primo de x não é uma função como g (6)=3, assim como g (6)=2.
O que é uma função discreta?
Uma função discreta é uma função cujo domínio é no máximo contável. Simplesmente, isso significa que é possível fazer uma lista que inclua todos os elementos do domínio.
Qualquer conjunto finito é no máximo contável. O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números racionais são exemplos para no máximo conjuntos infinitos contáveis. O conjunto dos números reais e o conjunto dos números irracionais não são, no máximo, contáveis. Ambos os conjuntos são incontáveis. Isso significa que é impossível fazer uma lista que inclua todos os elementos desses conjuntos.
Uma das funções discretas mais comuns é a função fatorial. f:N U{0}→N recursivamente definido por f (n)=n f (n-1) para cada n ≥ 1 ef (0)=1 é chamada de função fatorial. Observe que seu domínio N U{0} é no máximo contável.
O que é uma função contínua?
Seja f uma função tal que para cada k no domínio de f, f (x)→ f (k) como x → k. Então f é uma função contínua. Isso significa que é possível fazer f (x) arbitrariamente próximo de f (k) fazendo x suficientemente próximo de k para cada k no domínio de f.
Considere a função f (x)=x + 2 em R. Pode-se ver que como x → k, x + 2 → k + 2 que é f (x)→ f (k). Portanto, f é uma função contínua. Agora, considere g em números reais positivos g (x)=1 se x > 0 e g (x)=0 se x=0. Então, esta função não é uma função contínua, pois o limite de g (x) não existe (e, portanto, não é igual a g (0)) quando x → 0.
Qual é a diferença entre função discreta e contínua?
• Uma função discreta é uma função cujo domínio é no máximo contável, mas não precisa ser o caso em funções contínuas.
• Todas as funções contínuas ƒ têm a propriedade de que ƒ(x)→ƒ(k) como x → k para cada x e para cada k no domínio de ƒ, mas não é o caso de algumas funções discretas.
