População vs Desvio Padrão da Amostra
Na estatística, vários índices são usados para descrever um conjunto de dados correspondente à sua tendência central, dispersão e assimetria. O desvio padrão é uma das medidas mais comuns de dispersão de dados do centro do conjunto de dados.
Por dificuldades práticas, não será possível fazer uso de dados de toda a população quando uma hipótese for testada. Portanto, empregamos valores de dados de amostras para fazer inferências sobre a população. Em tal situação, eles são chamados de estimadores, pois estimam os valores dos parâmetros populacionais.
É extremamente importante usar estimadores imparciais na inferência. Diz-se que um estimador é imparcial se o valor esperado desse estimador for igual ao parâmetro populacional. Por exemplo, usamos a média amostral como um estimador imparcial para a média populacional. (Matematicamente, pode-se mostrar que o valor esperado da média amostral é igual à média populacional). No caso de estimar o desvio padrão da população, o desvio padrão da amostra também é um estimador imparcial.
Qual é o desvio padrão da população?
Quando os dados de toda a população podem ser levados em consideração (por exemplo, no caso de um censo), é possível calcular o desvio padrão da população. Para calcular o desvio padrão da população, primeiro são calculados os desvios dos valores dos dados da média da população. A raiz quadrada média (média quadrática) dos desvios é chamada de desvio padrão da população.
Em uma turma de 10 alunos, os dados sobre os alunos podem ser facilmente coletados. Se uma hipótese for testada nessa população de alunos, não há necessidade de usar valores amostrais. Por exemplo, os pesos dos 10 alunos (em quilogramas) são medidos em 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 e 79. Então o peso médio das dez pessoas (em quilogramas) é (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, que é 71 (em quilogramas). Esta é a média populacional.
Agora para calcular o desvio padrão da população, calculamos os desvios da média. Os respectivos desvios da média são (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 e (79 – 71)=8. A soma dos quadrados do desvio é (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. O desvio padrão da população é √(366/10)=6,05 (em quilogramas). 71 é o peso médio exato dos alunos da turma e 6.05 é o desvio padrão exato do peso de 71.
Qual é o desvio padrão da amostra?
Quando os dados de uma amostra (de tamanho n) são usados para estimar os parâmetros da população, o desvio padrão da amostra é calculado. Primeiro são calculados os desvios dos valores dos dados da média da amostra. Como a média amostral é usada no lugar da média populacional (que é desconhecida), não é apropriado tomar a média quadrática. Para compensar o uso da média amostral, a soma dos quadrados dos desvios é dividida por (n-1) em vez de n. O desvio padrão da amostra é a raiz quadrada disso. Em símbolos matemáticos, S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, onde S é o desvio padrão da amostra, ẍ é a média da amostra e xi's são os pontos de dados.
Agora suponha que, no exemplo anterior, a população sejam os alunos de toda a escola. Então, a aula será apenas uma amostra. Se esta amostra for usada na estimativa, o desvio padrão da amostra será √(366/9)=6.38 (em quilogramas) já que 366 foi dividido por 9 em vez de 10 (o tamanho da amostra). O fato a ser observado é que não é garantido que este seja o valor exato do desvio padrão da população. É apenas uma estimativa para isso.
Qual é a diferença entre o desvio padrão da população e o desvio padrão da amostra?
• O desvio padrão da população é o valor exato do parâmetro usado para medir a dispersão a partir do centro, enquanto o desvio padrão da amostra é um estimador imparcial para ele.
• O desvio padrão populacional é calculado quando todos os dados referentes a cada indivíduo da população são conhecidos. Caso contrário, o desvio padrão da amostra é calculado.
• O desvio padrão da população é dado por σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} onde µ é a média da população e n é o tamanho da população, mas o o desvio padrão da amostra é dado por S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} onde ẍ é a média da amostra e n é o tamanho da amostra.
