Série Aritmética x Geométrica
A definição matemática de uma série está intimamente relacionada com as sequências. Uma sequência é um conjunto ordenado de números e pode ser um conjunto finito ou infinito. Uma sequência de números com a diferença entre dois elementos sendo uma constante é conhecida como progressão aritmética. Uma sequência com um quociente constante de dois números sucessivos é conhecida como progressão geométrica. Essas progressões podem ser finitas ou infinitas, e se finito, o número de termos é contável, caso contrário, incontável.
Geralmente, a soma dos elementos de uma progressão pode ser definida como uma série. A soma de uma progressão aritmética é conhecida como uma série aritmética. Da mesma forma, a soma de uma progressão geométrica é conhecida como série geométrica.
Mais sobre séries aritméticas
Em uma série aritmética, os termos sucessivos têm uma diferença constante.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; onde a2 =a1 + d, a3 =a2 + d, e assim por diante.
Esta diferença d é conhecida como a diferença comum, e o termo nth é dado por an =a 1+ (n-1)d; onde a1 é o primeiro termo.
O comportamento da série muda com base na diferença comum d. Se a diferença comum for positiva a progressão tende a ser infinito positivo, e se a diferença comum for negativa tende ao infinito negativo.
A soma da série pode ser obtida pela seguinte fórmula simples, que foi desenvolvida pela primeira vez pelo astrônomo e matemático indiano Aryabhata.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
A soma Sn pode ser finita ou infinita, com base no número de termos.
Mais sobre Séries Geométricas
Uma série geométrica é uma série com o quociente dos números sucessivos constante. É uma série importante encontrada no estudo da série, pelas propriedades que possui.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
Com base na razão r, o comportamento da série pode ser categorizado da seguinte forma. r={|r|≥1 série diverge; r≤1 série converge}. Além disso, se r<0 a série oscila, ou seja, a série tem valores alternados.
A soma das séries geométricas pode ser calculada usando a seguinte fórmula. Sn =a(1-r) / (1-r); onde a é o termo inicial e r é a razão. Se a razão r≤1, a série converge. Para uma série infinita, o valor da convergência é dado por Sn=a / (1-r).
A série geométrica tem inúmeras aplicações nas áreas de ciências físicas, engenharia e economia
Qual é a diferença entre séries aritméticas e geométricas?
• Uma série aritmética é uma série com uma diferença constante entre dois termos adjacentes.
• Uma série geométrica é uma série com um quociente constante entre dois termos sucessivos.
• Todas as séries aritméticas infinitas são sempre divergentes, mas dependendo da razão, as séries geométricas podem ser convergentes ou divergentes.
• A série geométrica pode ter oscilação nos valores; ou seja, os números mudam de sinal alternadamente, mas a série aritmética não pode ter oscilações.
